Михаил Александрович Бедрышев родился 8 ноября 1919 года в деревне Чулково Шуйского уезда Владимирской губернии. После окончания школы ФЗУ при ГРЭС в городе Комсомольске работал слесарем в ремонтном цехе Ивановской ГРЭС (1935-1937), токарем в ремонтной мастерской на торфопредприятии Марково-Сборное (1937-1939).
В Красную Армию призван в 1939 году и направлен в прожекторный полк дивизии противовоздушной обороны города Киева.
Михаил Бедрышев - участник Великой Отечественной войны с первых дней. Полк, в котором служил Бедрышев, в сентябре 1941 года попал в окружение. Вырвавшись из окружения и добравшись до Сумской области, вступил в партизанский отряд, где находился с декабря 1941 года по август 1943-го. В конце августа 1943 года партизанский отряд соединился с наступающими частями Советской Армии в городе Сумы. С этого времени Михаил Бедрышев - командир пулеметного расчета 1140-го стрелкового полка.
В ночь на 1 октября 1943 года в группе из 12 добровольцев на подручных средствах переправился через реку Днепр в районе села Борки (Вышгородский район Киевской области). В течение дня группа отбила четыре контратаки противника. Бедрышев заменил выбывшего из строя командира группы. Лично сам Бедрышев уничтожил из своего автомата и гранатами 35 вражеских солдат и офицеров. Отражая натиск превосходящих сил врага, группа удержала плацдарм.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 января 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками рядовому Бедрышеву Михаилу Александровичу присвоено звание Героя Советского Союза.
6 октября 1943 года Михаил Александрович был ранен и находился в госпитале города Сумы до конца года. 1 января 1944 года был направлен шофером в 137-ю отдельную автороту 1-го Украинского фронта, а затем назначен начальником авторемонтной мастерской этой же роты. В июле 1944 года переведён в автомобильное училище города Рязани, которое окончил в декабре 1945 года.
После войны Бедрышев М.А. служил командиром учебного взвода (Закавказский военный округ, 1946-1947), командиром автотранспортного взвода (Северо-Кавказский военный округ; май, 1947 – март, 1950). В армии находился до 1956 года.
После увольнения в запас жил в городе Семикаракорск Ростовской области. Работал начальником автоколонны № 2. По словам очевидцев, Семикаракорскую автоколонну, которую он возглавил, ему пришлось создавать самому, тратя и время, и нервы, и силы без остатка. Те, кто работал с ним бок о бок, свидетельствуют, что не слышали от него ни одного грубого слова. Взыскательный к другим, к себе Михаил Александрович был взыскателен вдвойне. Даже когда в 1970 году по состоянию здоровья получил инвалидность II группы, но работы своей не оставил.
Михаил Александрович активно участвовал в военно-патриотическом воспитании молодежи. Награжден орденами Ленина, Красной Звезды, медалями.
М.А. Бедрышев умер 6 марта 1974 года в Семикаракорске. Седьмой переулок, где когда-то Михаил Александрович построил дом, в котором и сейчас живет его дочь, переименован в его честь. На доме, где жил Герой Советского Союза, 5 мая 2010 года установлена мемориальная доска. Также мемориальная доска с именем М.А. Бедрышева помещена на стене здания средней общеобразовательной школы, где в свое время учился наш земляк, в с. Марково Ивановской области.