Михаил Кошелев родился 18 декабря 1923 года в с. Солдатское, ныне Хобдинский район Актюбинской области Казахстана, в семье крестьянина. Окончил 7 классов. С 1937 семья переехала на жительство в станицу Семикаракорская Ростовской области. Работал трактористом в плодоовощном совхозе «Донской».
В Красную Армию призван Семикаракорским райвоенкоматом в октябре 1941 года.
Сержант Кошелев 1 марта 1944 года, находясь в группе захвата, в районе высоты у с. Журавка (Шполянский район Черкасской области в Украине) первым преодолел проволочные заграждения, минные поля противника и проник в его окопы. Группа уничтожила несколько гитлеровцев, а одного Кошелев пленил и доставил в расположение наших войск. Девятого апреля 1944 года награжден орденом Славы III степени.
15 марта 1944 года помощник командира взвода Кошелев, выполняя задачу по захвату «языка» у села Фёдоровка (23 км южнее поселка городского типа Новоархангельск Кировоградской области в Украине), с группой захвата скрытно подошел к населенному пункту, занятому вражескими солдатами, и внезапно их атаковал. В результате боя группа уничтожила 7 гитлеровцев и одного взяла в плен. Отбив несколько контратак противника, разведчики удержали село до подхода стрелковых подразделений.
Четвертого апреля 1944 года, находясь в разведке с задачей установить передний край противника и захватить «языка», группа, возглавляемая Кошелевым, обошла противника с фланга и на дороге близ населенного пункта Гулбоака (Молдова) устроила засаду. В результате действий разведчиков было уничтожено до 10 вражеских солдат и 5 взято в плен, а стрелковая рота овладела населенным пунктом Гулбоака. 21 июня 1944 года М. Кошелев был награжден орденом Славы II степени.
Командир отделения старший сержант Михаил Кошелев при форсировании реки Тиса в районе населенного пункта Кишкере (юго-восток г. Хевеш, Венгрия) в ночь на 7 ноября 1944 года в числе первых со своим отделением преодолел водный рубеж и, несмотря на сильный огонь из стрелкового оружия, закрепился на берегу. Отражая яростные контратаки противника и прикрывая переправу стрелковых подразделений, отделение Кошелева уничтожило двенадцать вражеских солдат и несколько взяло в плен, подавило шесть огневых точек. 10 ноября 1944 года в бою за станцию Терексентмиклош (Венгрия) Михаил Кошелев по открытой местности подкрался к огневым точкам, мешавшим продвижению пехоты, и гранатами подавил два пулемета, что позволило стрелковым подразделениям штурмом овладеть станцией.
В начале января 1945 года дивизия была передана в состав 51-го стрелкового корпуса 40-й армии. К этому времени старший сержант Кошелев исполнял обязанности командира взвода 125-го стрелкового полка. 11 января, после марша, дивизия заняла новые позиции. 12-го января вступила в бой в ходе Западно-Карпатской операции. В один из этих дней (еще на этапе занятия позиций дивизия попала под сильный артналет врага) Кошелев получил тяжелое ранение в грудь. Скончался 15 января 1945 года (21 год) в госпитале. Похоронен на русском кладбище в городе Сольнок в области Яс-Надькун в Венгрии. На могиле установлена мемориальная плита с именами героев.
28 апреля 1945 года Указом Президиума Верховного Совета СССР старший сержант Михаил Тихонович Кошелев посмертно награжден орденом Славы I степени.
Командир отделения 75-й отдельной разведроты (6-я стрелковая дивизия, 53-я армия, 2-й Украинский фронт) Михаил Кошелев воевал на Северо-Западном, Западном, Юго-Западном, 2-м и 3-м
Украинском фронтах. Полный кавалер ордена Славы Кошелев М.Т., также был удостоен ордена Красного Знамени, двух медалей «За отвагу», медалью «За оборону Ленинграда».